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Klassische Mechanik · Vorlesung 7

Klassische Mechanik · Susskind · Theoretical Minimum · 4:38 min

DIE FRAGE DER VORLESUNG Der Satz von Liouville Der Fluss im Phasenraum ist inkompressibel. HAMILTON Volumen bleibt WIE WASSER nicht pressbar PHASENRAUM · ALLE ANFANGSZUSTÄNDE ALS STAUB q p Jeder Punkt = ein Zustand des ganzen Systems. Das Volumen bleibt gleich. DIE HAMILTONSCHEN GLEICHUNGEN dp/dt = − ∂H/∂q dq/dt = + ∂H/∂p H darf jede Funktion von q und p sein. Dass p = m · v gilt, wird nicht vorausgesetzt. ENERGIEERHALTUNG IN EINER ZEILE dH/dt = ∂H/∂q · dq/dt + ∂H/∂p · dp/dt = ∂H/∂q · ∂H/∂p − ∂H/∂p · ∂H/∂q = 0 Energie bleibt erhalten ✓ GILT, SOLANGE H NICHT AUSDRÜCKLICH VON t ABHÄNGT ENERGIEFLÄCHEN · HARMONISCHER OSZILLATOR qp H = E legt einen Kreisfest. Die Bahn bleibt auf ihrem Kreis. Umlaufzeit gleich DIVERGENZ · ZUFLUSS GLEICH ABFLUSS Gebiet div v = ∂(dq/dt)/∂q + ∂(dp/dt)/∂p = ∂²H/∂q∂p − ∂²H/∂p∂q = 0 Gemischte Ableitungen sind vertauschbar. AUCH BEI ZEITABHÄNGIGEM H · FÜR JEDES PAAR q, p H = p · q · FLÄCHE BLEIBT, FORM NICHT q p Quadrat flaches Rechteck dq/dt = + q (q wächst)dp/dt = − p (p schrumpft) DISKRET GEGEN KONTINUIERLICH ein Pfeil hinein, einer heraus ✓ Senke ✗ KONTINUIERLICH: FLUSS OHNE QUELLEN UND SENKEN GEDÄMPFTER OSZILLATOR · EINE SENKE qp div v = − c/m kleiner als 0 Alle Zustände landen nahe am Ursprung. m · d²x/dt² = − k x − c · dx/dt DIVERGENZ NULL hamiltonsch 3D-FLÜSSIGKEIT NICHT HAMILTONSCH hamiltonsch → Divergenz null ✓ Divergenz null → hamiltonsch ✗ DIE POISSON-KLAMMER {f, g} = Summe über alle i von ∂f/∂q · ∂g/∂p − ∂f/∂p · ∂g/∂q df/dt = {f, H} Die ganze Dynamik in einer Gleichung. NÄCHSTES MAL: MEHR ZUR KLAMMER, DANN DREHIMPULS FAZIT Hamilton → div v = 0 Volumen bleibt ✓ Die Form darf sich ändern. Reibung → div v < 0 Information geht verloren ✗ NICHT HAMILTONSCH
Anna

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