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Klassische Mechanik · Vorlesung 8

Klassische Mechanik · Susskind · Theoretical Minimum · 4:04 min

DIE FRAGE DER VORLESUNG Poisson-Klammern Wie hängen Erhaltung und Symmetrie zusammen? ERHALTUNG {G, H} = 0 GENERATOR Symmetrie DIE POISSON-KLAMMER {F, G} = Σ ( ∂F/∂q · ∂G/∂p − ∂F/∂p · ∂G/∂q ) Summe über alle Koordinaten q und Impulse p ZEITABLEITUNG EINER GRÖSSE f df/dt = {f, H} H = Hamilton-Funktion = Energie REGELN UND GRUNDKLAMMERN ANTISYMMETRIE {A, B} = − {B, A} LINEAR {A + B, C} = {A, C} + {B, C} PRODUKTREGEL {A·B, C} = A{B, C} + B{A, C} GRUNDKLAMMERN {q, p} = 1 {q, q} = 0 {p, p} = 0 HARMONISCHER OSZILLATOR H = p²/2m + k q²/2 dq/dt = {q, H} = p/m dp/dt = {p, H} = − k q Minuszeichen, weil {p, q} = − 1 Nur Klammerregeln — keine weitere Physik. KLAMMER = KLEINE ÄNDERUNG {f, Lz} Drehung um z {f, p} Verschiebung {f, H} Zeitverschiebung Beweis für Verschiebung: Potenzen von q per Induktion. ERHALTUNG UND SYMMETRIE {G, H} = 0 LESART 1 G ist erhalten LESART 2 H bleibt gleich unter der von G erzeugten Transformation Energie → Zeit · Impuls → Ort · Drehimpuls → Drehung DREHIMPULSALGEBRA {Lx, Ly} = Lz {Ly, Lz} = Lx {Lz, Lx} = Ly x y z Zyklisch vertauschen: x → y → z → x Das klassische Gegenstück zu den Vertauschungsregeln des Drehimpulses. KREISEL OHNE SCHWERKRAFT H = L² / 2I L Alle Klammern von Lx, Ly, Lz mit H sind null. L erhalten ✓ Achse bleibt fest ✓ KREISEL MIT SCHWERKRAFT · H = L²/2I + C·L z L Lz bleibt konstant Lx und Ly drehen sich mit Winkelgeschw. C Präzession um die senkrechte Achse SPIN IM MAGNETFELD · NMR B Spin gleiche Rechnung wie beim Kreisel: Elektronen- und Kernspins ÜBERGANG ZUR QUANTENMECHANIK KLASSISCH {A, B} QUANTEN [A, B] [A, B] = i ħ {A, B} nicht: {A, B} = i ħ [A, B] ✗ Der Kommutator trägt den Faktor i ħ. FAZIT df/dt = {f, H} Zeitentwicklung {G, H} = 0 Erhaltung = Symmetrie {Lx, Ly} = Lz Kreisel präzediert Ein kleines Regelwerk genügt.
Anna

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