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Klassische Mechanik · Vorlesung 10

Klassische Mechanik · Susskind · Theoretical Minimum · 5:39 min

DIE FRAGE DER VORLESUNG Teilchen im Magnetfeld Wozu braucht man ein Vektorpotential? MAGNETFELD B VEKTORPOTENTIAL A KEINE MAGNETISCHEN MONOPOLE div B = 0 Feldlinien sind geschlossen kein Monopol ✗ VEKTORPOTENTIAL A B = rot A DARUM STIMMT AUTOMATISCH div (rot A) = 0 ✓ Quellenfreiheit ist eingebaut. A allein ist nicht direkt messbar. EICHTRANSFORMATION A → A + grad S rot (grad S) = 0 A ÄNDERT SICHneues A B BLEIBTdasselbe B ✓ Messbar ist nur, was eichinvariant ist. HOMOGENES FELD IN Z-RICHTUNG B DREI EICHUNGEN, EIN FELD A = ( 0 , B x , 0 ) A = ( −B y , 0 , 0 ) A = ( −B y/2 , B x/2 , 0 ) alle: rot A = ( 0 , 0 , B ) ✓ Verbindung: S = −B · x · y / 2 (Gradient) LAGRANGE-FUNKTION L = ½ m v² + (e/c) · A · v KINETISCHE ENERGIE + ZUSATZTERM MIT A EULER-LAGRANGE LIEFERT m a = (e/c) · v × B Lorentzkraft ✓ Eichwechsel ändert nur Randterme der Wirkung. ZWEI IMPULSBEGRIFFE MECHANISCH · MESSBAR p = m · v KANONISCH · AUS L ABGELEITET p = m · v + (e/c) · A Symmetrie → kanonisches p bleibt erhalten. HAMILTON-FUNKTION · KEINE ARBEIT H = (p − (e/c) A)² / (2 m) Zahlenwert: ½ m v² v F B aus dem Bild F ⊥ v → |v| konstant ✓ KREISBAHN IM HOMOGENEN FELD r v F r = m v c / (e B) schneller → größer mehr Ladung → enger Mittelpunkt beliebig B zeigt aus dem Bild, Umlauf im Uhrzeigersinn. EICHUNG SO WÄHLEN, DASS ETWAS ZYKLISCH IST A = ( 0 , B x , 0 ) y und z fehlen in L → zyklisch ERHALTEN BLEIBT py = m vy + (e/c) B x = konst. = eine Komponente der Lorentzkraft ✓ Ohne die Gleichung auszurechnen. AUSBLICK · QUATERNIONEN Hamilton suchte Zahlen für den Raum QUATERNIONEN i² = j² = k² = −1 i · j = k PAULI-MATRIZEN Quadrat = +1 nicht gleich ✗ Zusammenhang: Quaternion = −i · Pauli-Matrix FAZIT B ist quellenfrei → B = rot A. A ist mehrdeutig → Eichtransformation. Real ist nur, was eichinvariant ist. L liefert die Lorentzkraft. Kreisbahn, |v| konstant, Mittelpunkt beliebig ✓
Anna

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